Question

【題目】已知a≥2,不等式logax+loga[(a+1)ak-1-x]≥2k-1的解集為A,其中a∈N*,k∈N.

(1)求A.

(2)設(shè)f(k)表示A中自然數(shù)個(gè)數(shù),求和Sn=f(1)+f(2)+…+f(n).

(3)當(dāng)a=2時(shí),比較Sn與n2+n的大小,并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】分析：(1)利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為不等式組，解之即可;

(2)由（1）明確f(k)表示A中自然數(shù)個(gè)數(shù)，累加求和即可；

（3）先用特例猜想二者大小，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.

詳解：(1)不等式同解于

，

由③,得x2-(a+1)ak-1x+a2k-1≤0.

∵a≥2,∴ak-1<ak.

∴ak-1≤x≤ak,且該式滿足①,②.

∴A={x|ak-1≤x≤ak}.

(2)由題意知f(k)=ak-ak-1+1,Sn=(a-a0+1)+(a2-a+1)+…+(an-an-1+1)=an+n-1.

(3)當(dāng)a=2時(shí),Sn=2n+n-1,Sn-(n2+n)=2n-n2-1.

當(dāng)n=1時(shí),S1=12+1;

當(dāng)n=2時(shí),S2<22+2;

當(dāng)n=3時(shí),S3<32+3;

當(dāng)n=4時(shí),S4<42+4;

當(dāng)n=5時(shí),S5>52+5.

猜想當(dāng)n≥5(n∈N)時(shí),Sn>n2+n.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

①當(dāng)n=5時(shí),已驗(yàn)證.

②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥5)時(shí),Sk>k2+k成立,即2k>k2+1成立,則當(dāng)n=k+1時(shí),Sk+1-[(k+1)2+(k+1)]=2k+1-(k+1)2-1=2×2k-k2-2k-2>2(k2+1)-k2-2k-2=k2-2k=k(k-2)>0,即Sk+1>[(k+1)2+(k+1)],∴當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立.

根據(jù)①②可知,對(duì)任何n≥5(n∈N*),都有Sn>n2+n成立.

綜上所述,當(dāng)n=1時(shí),Sn=n2+n;當(dāng)n=2,3,4時(shí),Sn<n2+n;當(dāng)n≥5(n∈N*)時(shí),Sn>n2+n.