【題目】在一個(gè)半徑為1的半球材料中截取兩個(gè)高度均為
的圓柱，其軸截面如圖所示．設(shè)兩個(gè)圓柱體積之和為
．
(1)求
的表達(dá)式，并寫出
的取值范圍；
(2）求兩個(gè)圓柱體積之和
的最大值．
【答案】(1)見解析 (2) 
【解析】試題分析：（1）圓柱的高、底面的半徑和球的半徑是一個(gè)直角三角形的三邊，故可以得到兩個(gè)圓柱的底面半徑分別為
， 
，由此可以計(jì)算出兩個(gè)圓柱的體積之和以及
的取值范圍．（2）因?yàn)?/span>
，利用導(dǎo)數(shù)討論該函數(shù)的單調(diào)性，從而求得
的最大值為
．
解析：（1）自下而上兩個(gè)圓柱的底面半徑分別為： 
， 
．它們的高均為
，所以體積之和
．
因?yàn)?/span>
，所以
的取值范圍是
．
(2) 由
，得
，令
，因?yàn)?/span>
，得
． 所以當(dāng)
時(shí)， 
；當(dāng)
時(shí)， 
．所以
在
上為增函數(shù)，在
上為減函數(shù)，所以當(dāng)
時(shí)， 
取得極大值也是最大值， 
的最大值為
．
答：兩個(gè)圓柱體積之和
的最大值為
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】①在同一坐標(biāo)系中，
與
的圖象關(guān)于
軸對稱；
②
是奇函數(shù)；
③
的圖象關(guān)于
成中心對稱；
④
的最大值為
；
⑤
的單調(diào)增區(qū)間：
。
以上五個(gè)判斷正確有____________________（寫上所有正確判斷的序號）。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E： 
(a>b>0)的離心率為
，F是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為
，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求E的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)A的動直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn ， 已知a1=1， 
=12．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式an；
（2）bn= 
，bn的前n項(xiàng)和Tn ， 求證；Tn＜ 
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),8(0,3)，圓心C在第一象限，線段AB的垂直平分線交圓C 于點(diǎn)D,E,且DE =2
．
（1）求直線DE的方程；
（2）求圓C的方程；
（3）過點(diǎn)（0,4）作圓C的切線，求切線的斜率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f(x)的圖像可以由y=cos2x的圖像先縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，最后向右平移
個(gè)單位而得到.
⑴求f(x)的解析式與最小正周期；
⑵求f(x)在x∈(0，π)上的值域與單調(diào)性.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，已知三棱柱
，側(cè)面
.
(Ⅰ)若
分別是
的中點(diǎn)，求證： 
；
(Ⅱ)若三棱柱
的各棱長均為2，側(cè)棱
與底面
所成的角為
，問在線段
上是否存在一點(diǎn)
，使得平面
?若存在，求
與
的比值，若不存在，說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】對于實(shí)數(shù)x，記[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[3.14]=3，[﹣0.25]=﹣1．若存在實(shí)數(shù)t，使得[t]=1，[t2]=2，[t3]=3…[tt]=n同時(shí)成立，則正整數(shù)n的最大值為 ．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（1）作出函數(shù)f(x)的大致圖象；
（2）寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)
時(shí)，由圖象寫出f(x)的最小值.
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