Question

如圖，平面VAD⊥平面ABCD，△VAD是等邊三角形，ABCD是矩形，AB∶AD＝∶1，F是AB的中點．
　　（1）求VC與平面ABCD所成的角；
　　（2）求二面角V-FC-B的度數；
　　（3）當V到平面ABCD的距離是3時，求B到平面VFC的距離．

Answer 1

（1）VC與平面ABCD成30°．
　　（2）二面角V-FC-B的度數為135°．
　　（3）B到面VCF的距離為．

取AD的中點G，連結VG，CG．

　　（1）∵　△ADV為正三角形，∴　VG⊥AD．
　　又平面VAD⊥平面ABCD．AD為交線，
　　∴　VG⊥平面ABCD，則∠VCG為CV與平面ABCD所成的角．
　　設AD＝a，則，．
　　在Rt△GDC中，
　　．
　　在Rt△VGC中，．
　　∴　．
　　即VC與平面ABCD成30°．
　　（2）連結GF，則．
　　而　．
　　在△GFC中，．　∴　GF⊥FC．
　　連結VF，由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC，則∠VFG即為二面角V-FC-D的平面角．
　　在Rt△VFG中，．
　　∴　∠VFG＝45°．　二面角V-FC-B的度數為135°．
　　（3）設B到平面VFC的距離為h，當V到平面ABCD的距離是3時，即VG＝3．
　　此時，，，．
　　∴　，
　　　　．
　　∵　，
　　∴　．
　　∴　．
　　∴　　即B到面VCF的距離為．