Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）當，函數，證明：存在唯一的極大值點，且.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）求導，討論a≤0和a>0 時f′（x）的正負確定單調性

（2）求導g′（x）＝2x﹣2﹣lnx，構造新函數t（x）＝2x﹣2﹣lnx，求導利用零點存在定理得g（x）必存在唯一極大值點x0，且2x0﹣2﹣lnx0＝0，結合g（x0）x0﹣x0lnx0整理為二次函數證明即可

（1）解：因為f（x）＝ax﹣a﹣lnx（x＞0），

求導：f′（x）＝a.

則當a≤0時f′（x）＜0，即y＝f（x）在（0，+∞）上單調遞減，

當a>0時，f′（x）＜0 , 0＜x，f′（x）＞0則 x

所以，y＝f（x）在上單調遞減，在上單調遞增.

綜上，當a≤0時，y＝f（x）在（0，+∞）上單調遞減；當a>0時，y＝f（x）在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）證明：由（1）可知g（x）＝x2﹣x﹣xlnx，g′（x）＝2x﹣2﹣lnx，

令g′（x）＝0，可得2x﹣2﹣lnx＝0，記t（x）＝2x﹣2﹣lnx，則t′（x）＝2，

令t′（x）＝0，解得：x，

所以t（x）在區間（0，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增，

所以t（x）min＝t（）＝ln2﹣1＜0，t（）＝， t（1）＝0從而t（x）＝0有兩解，即g′（x）＝0存在兩根x0，1，

則g′（x）在（0，x0）上為正、在（x0，1）上為負、在（1，+∞）上為正，

所以g（x）必存在唯一極大值點x0，且2x0﹣2﹣lnx0＝0，

所以g（x0）x0﹣x0lnx0x0+2x0﹣2x0，

由x0可知g（x0）＜（x0）max；