Question

（2013•濰坊一模）已知數(shù)列{a_n}的各項排成如圖所示的三角形數(shù)陣，數(shù)陣中每一行的第一個數(shù)a₁，a₂，a₄，a₇，…構成等差數(shù)列{b_n}，S_n是{b_n}的前n項和，且b₁=a₁=1，S₅=15．
（ I ）若數(shù)陣中從第三行開始每行中的數(shù)按從左到右的順序均構成公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且公比相等，已知a₉=16，求a₅₀的值；
（Ⅱ）設Tn=

1

Sn+1

+

1

Sn+2

+…+

1

S2n

，當m∈[-1，1]時，對任意n∈N^*，不等式t3-2mt-

8

3

＞Tn恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由等差數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁=1，S₅=15．求出數(shù)列的公差后，可得數(shù)列的通項公式，結(jié)合數(shù)陣中從第三行開始每行中的數(shù)按從左到右的順序均構成公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且公比相等，a₉=16，可求出公比，進而求出a₅₀的值；
（Ⅱ）由（1）求出S_n的表達式，利用裂項相消法求出T_n的表達式，進而將不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化為最值問題，利用導數(shù)法，可得答案．

解答：解：（I）設等差數(shù)列{b_n}的公差為d，
∵b₁=1，S₅=5+10d=15．
解得d=1
∴b_n=n
∴b₄=a₇=4，
設第三行開始，每行的公比都是q，且q＞0
則a₉=a₇•q²=4q²=16
解得q=2
又由前9行共有1+2+3+…+9=45個數(shù)
故a₅₀是數(shù)列第10行第5個數(shù)
故a₅₀=b₁₀•q⁴=10×16=160
（II）由（I）易得S_n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

∴Tn=

1

Sn+1

+

1

Sn+2

+…+

1

S2n

=

2

(n+1)(n+2)

+

2

(n+2)(n+3)

+…+

2

2n•(2n+1)

=2（

1

n+1

-

1

n+2

+

1

n+2

-

1

n+3

+…+

1

2n

-

1

2n+1

）
=2（

1

n+1

-

1

2n+1

）
=

2n

(n+1)(2n+1)

令f（x）=

2x

(x+1)(2x+1)

（x≥1）
∴f′（x）=

2-4x2

(x+1)2(2x+1)2

，（x≥1）
由x≥1時，f′（x）＜0，故f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)
∴T_n隨n的增大而減小，故當n=1時T_n取最大值T₁=

1

3

若不等式t3-2mt-

8

3

＞Tn恒成立，
則t3-2mt-

8

3

＞

1

3

恒成立，
即t³-2mt-3＞0恒成立，
令g（m）=t³-2mt-3，m∈[-1，1]
則

g(-1)＞0 g(1)＞0

即

2t+t2-3＞0 -2t+t2-3＞0

解得t＜-3或t＞3

點評：本題考查的知識點是等差數(shù)列，等比數(shù)列，其中（I）的關鍵求出數(shù)列的通項公式，（II）的關鍵是利用裂項相消法求出T_n的表達式．