Question

【題目】已知函數， （， 為自然對數的底數）.

（1）試討論函數的極值情況；

（2）證明：當且時，總有.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）求定義域內的所有根；判斷的根左右兩側值的符號即可得結果；（2）當時， ，研究函數的單調性，兩次求導，可證明在內為單調遞增函數，進而可得當時， ，即可得結果.

試題解析：（1）的定義域為，

.

①當時， ，故在內單調遞減， 無極值；

②當時，令，得；令，得.

故在處取得極大值，且極大值為， 無極小值.

（2）證法一：當時， .

設函數 ，

則.記，

則.

當變化時， ， 的變化情況如下表：

由上表可知，

而 ，

由，知，

所以，

所以，即.

所以在內為單調遞增函數.

所以當時， .

即當且時， .

所以當且時，總有.

證法二：當時， .

因為且，故只需證.

當時， 成立；

當時， ，即證.

令，則由，得.

在內， ；

在內， ，

所以.

故當時， 成立.

綜上得原不等式成立.