Question

二面角α–EF–β的大小為120°，A是它內(nèi)部的一點(diǎn)AB⊥α，AC⊥β，B，C分別為垂足.

（1）求證：平面ABC⊥β；

（2）當(dāng)AB=4cm，AC=6cm,求BC的長(zhǎng)及A到EF的距離.

Answer 1

（1）∵AB⊥α，EFα，∴EF⊥AB，同理EF⊥AC，AB，AC是兩條相交直線，∴ EF⊥平面ABC，∵ EFα，EFβ,∴ 平面ABC⊥平面α,平面ABC⊥平面β。

  （2）設(shè)平面ABC與EF交于點(diǎn)D，連結(jié)BD，CD，則BD，CD平面ABC，∵EF⊥平面ABC，∴ EF⊥BC，EF⊥DC，∠BDC是二面角α–EF–β的平面角，∠BCD=120°，A，B，C，D在同一平面內(nèi)，且∠ABD=∠ACD=90°，

∴∠BAC=60°，當(dāng)AB=4 cm, AC=6 cm時(shí)，

BC=

又∵  A，B，C，D共圓，∵AD是直徑。∵ EF⊥平面ABC，AD平面ABC，

∴ AD⊥EF，即AD是A到EF的距離，由正弦定理，得AD==（cm）