Question

（2013•廣元二模）如圖，在五面體EF-ABCD中，四邊形ADEF是正方形，F(xiàn)A⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=l，AD=2

2

，∠BAD=∠CDA=45°．
①證明：CD⊥平面ABF；
②求二面角B-EF-A的正切值．

Answer 1

分析：①過點(diǎn)B作BC∥CD，交AD于點(diǎn)G，可證CD⊥AB，CD⊥FA，利用線面垂直的判定定理，可得CD⊥平面ABF；
②取EF的中點(diǎn)N，連接GN，則GN⊥EF，過點(diǎn)N作NM⊥EF，交BC于M，則∠GNM為二面角B-EF-A的平面角，由此可求二面角B-EF-A的正切值．

解答：①證明：過點(diǎn)B作BC∥CD，交AD于點(diǎn)G，則∠BGA=∠CDA=45°，
由∠BAD=45°，可得BG⊥AB，從而CD⊥AB，
又FA⊥平面ABCD，∴CD⊥FA，
∵FA∩AB=A，∴CD⊥平面ABF．
②解：由上可得AG=

2

，即G為AD的中點(diǎn)，
取EF的中點(diǎn)N，連接GN，則GN⊥EF，
因?yàn)锽C∥AD，所以BC∥EF，
過點(diǎn)N作NM⊥EF，交BC于M，則∠GNM為二面角B-EF-A的平面角，
連接GM，可得AD⊥平面GNM，故AD⊥GM，從而BC⊥GM，
由已知，可得GM=

2

2

，
由NG∥FA，F(xiàn)A⊥GM，得NG⊥GM，
在Rt△NGM中，tan∠GNM=

GM

NG

=

1

4

，
所以二面角B-EF-A的正切值為

1

4

．

點(diǎn)評：本題考查線面垂直，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．