Question

【題目】已知函數f（x）=e﹣x﹣ ．
（Ⅰ）證明：當x∈[0，3]時， ．
（Ⅱ）證明：當x∈[2，3]時， ．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）要證 ，也即證ex≤1+9x．

令F（x）=ex﹣9x﹣1，則F′（x）=ex﹣9．令F′（x）＞0，則x＞2ln3．

∴當0≤x＜2ln3時，有F′（x）＜0，∴F（x）在[0，2ln3]上單調遞減，

2ln3＜x≤3時，有F′（x）＞0，∴F（x）在[2ln3，3]上單調遞增．

∴F（x）在[0，3]上的最大值為max{F（0），F（3）}．

又F（0）=0，F（3）=e3﹣28＜0．

∴F（x）≤0，x∈[0，3]成立，即ex≤1+9x，x∈[0，3]成立．

∴當x∈[0，3]時， ．

（Ⅱ）由（I）得：當x∈[2，3]時，f（x）= ≥ ，

令 ，

則t′（x）=﹣（1+9x）﹣29+（1+x）﹣2

=

=

= ≥0，x∈[2，3]．

∴t（x）在[2，3]上單調遞增，即t（x）≥t（2）=﹣ =﹣ ，x∈[2，3]．

∴f（x）＞﹣ 得證．

下證f（x）＜0．即證ex＞x+1，

令h（x）=ex﹣（x+1），則h′（x）=ex﹣1＞0，∴h（x）在[2，3]上單調遞增，

∴h（x）=ex﹣（x+1）≥e2﹣3＞0，得證．

∴當x∈[2，3]時，

【解析】（Ⅰ）要證 ，即證ex≤1+9x，令F（x）=ex﹣9x﹣1，則F′（x）=ex﹣9，推導出F（x）在[0，3]上的最大值為max{F（0），F（3）}．由此能證明當x∈[0，3]時， ．

（Ⅱ）當x∈[2，3]時，f（x）= ≥ ，令 ，則t′（x）= ≥0，x∈[2，3]，由此能證明f（x）＞﹣ ，證明f（x）＜0，即證ex＞x+1，令h（x）=ex﹣（x+1），則h′（x）=ex﹣1＞0，由此能證明h（x）=ex﹣（x+1）≥e2﹣3＞0．

【考點精析】掌握函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．