Question

已知動圓與圓相切，且與圓相內切，記圓心的軌跡為曲線；設為曲線上的一個不在軸上的動點，為坐標原點，過點作的平行線交曲線于兩個不同的點．
（1）求曲線的方程；
（2）試探究和的比值能否為一個常數？若能，求出這個常數，若不能，請說明理由；
（3）記的面積為，求的最大值．

Answer 1

（1）圓心的軌跡：；
（2）和的比值為一個常數，這個常數為；
（3）當時，取最大值．

解析試題分析：（1）設圓心的坐標為，半徑為 
利用已知條件，判斷得到動圓與圓只能內切，
從而由，
判斷得出圓心的軌跡為以為焦點的橢圓，且，
求得圓心的軌跡：；
（2）設，研究直線，直線與橢圓聯立的方程組，應用韋達定理，弦長公式，確定作出結論；
（3）注意到的面積的面積，
利用到直線的距離，將面積表示為
 ，應用“換元”思想，
令，得到應用基本不等式得解．
試題解析：（1）設圓心的坐標為，半徑為 
由于動圓與圓相切，且與圓相內切，所以動
圓與圓只能內切
                               2分
圓心的軌跡為以為焦點的橢圓，其中，

故圓心的軌跡：                                             4分
（2）設，直線，則直線
由可得：，
                       6分
由可得：


                        8分

和的比值為一個常數，這個常數為       &nb