Question

【題目】橢圓與雙曲線有相同的焦點F1（﹣c，0），F2（c，0），橢圓的一個短軸端點為B，直線F1B與雙曲線的一條漸近線平行，若橢圓與雙曲線的離心率分別為e1 ， e2 ， 則3e12+e22的最小值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由題意可知：雙曲線的焦點在x軸上，設橢圓的長軸為2a，短軸為2b，雙曲線的實軸為2a'，虛軸為2b'，
∵橢圓的一個短軸端點為B，直線F1B與雙曲線的一條漸近線平行，
∴ = ，即 = ，
平方可得： = ，由此得到 = 即 = ，
∴（ ）2=（ ）2 ，
由e1= ，e2= ，
∴e1e2=1，
∵e1、e2都是正數，
∴3e12+e22＞2 =2 ，
當且僅當3e12=e22 ， 即e2= e1 ， e1= ，e2= 時，等號成立，
∴3e12+e22的最小值 ，
所以答案是： ．