Question

【題目】甲乙兩人參加競(jìng)選，結(jié)果是甲得票，乙得票. 試求：唱票中甲累計(jì)的票數(shù)始終超過(guò)乙累計(jì)的票數(shù)的概率.

Answer 1

【答案】

【解析】

若唱甲當(dāng)選，則記為1；若唱乙當(dāng)選，則記為. 每一種唱票方式都對(duì)應(yīng)一個(gè)由個(gè)1和個(gè)組成的排列. 用表示譴責(zé)項(xiàng)的和，在直角坐標(biāo)系中標(biāo)出點(diǎn)，并將點(diǎn)與點(diǎn)用線段聯(lián)結(jié). 這樣，每一種唱票方式都對(duì)應(yīng)一條聯(lián)結(jié)與的折線. 而甲累計(jì)的票數(shù)始終領(lǐng)先等價(jià)于所有的點(diǎn)都在軸的上方，即折線與軸無(wú)交點(diǎn)（我們稱為“好折線”，反之為“壞折線”）.

顯然，聯(lián)結(jié)、的“自由”（無(wú)限定條件）折線有條，這是因?yàn)樵?/span>段中選擇段為上升有種方法.

對(duì)每一條壞折線，有如下兩種情形：一是經(jīng)過(guò)點(diǎn)，二是經(jīng)過(guò)點(diǎn).

對(duì)于第一種情形，壞折線是由到的自由折線，從而，這樣的折線有條.

對(duì)于第二種情形，注意到過(guò)的壞折線必與軸相交，設(shè)其橫坐標(biāo)最小的交點(diǎn)為. 將此折線位于左邊的部分作關(guān)于軸的對(duì)稱折線，便得到過(guò)點(diǎn)的壞折線，于是，壞折線的條數(shù)也有條. 所以，合乎條件的好折線的條數(shù)為.

綜上所述，所求的概率為.