Question

已知橢圓，過點(diǎn)且離心率為.

（1）求橢圓的方程；
（2）已知是橢圓的左右頂點(diǎn)，動點(diǎn)M滿足，連接AM交橢圓于點(diǎn)P，在x軸上是否存在異于A、B的定點(diǎn)Q,使得直線BP和直線MQ垂直.

Answer 1

（1）；（2）存在，

解析試題分析：（1）由離心率，所以①，再把點(diǎn)代入橢圓中得：②，最后③，由①②③三式求出、，即可寫出橢圓方程；
假設(shè)存在，設(shè)，則直線的方程， 可得， 并設(shè)定點(diǎn)，由，直線與直線斜率之積為-1，即 ，化簡得 ，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c4/c/p78fw1.png" style="vertical-align:middle;" /> ，得，可求出，繼而得到定點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo).
（1）由題意得：
 得 ，
所以，橢圓方程為
（2）設(shè)，則直線的方程，
可得，       
設(shè)定點(diǎn)，，
，即 ，  
                       
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c4/c/p78fw1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以
進(jìn)而求得，故定點(diǎn)為.           
考點(diǎn)：橢圓方程；直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；是否存在問題.