Question

【題目】如圖, 直線與拋物線交于兩點, 線段的垂直平分線與直線交于點.

（1）求點的坐標；

（2）當P為拋物線上位于線段下方（含）的動點時, 求ΔOPQ面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 最大值30

【解析】

（1）把直線方程拋物線方程聯立求得交點A，B的坐標，則AB中點M的坐標可得，利用AB的斜率推斷出AB垂直平分線的斜率，進而求得AB垂直平分線的方程，把y=-5代入求得Q的坐標．
（2）設出P的坐標，利用P到直線OQ的距離求得三角形的高，利用兩點間的距離公式求得OQ的長，最后利用三角形面積公式表示出三角形OPQ，利用x的范圍和二次函數的單調性求得三角形面積的最大值．

解：(1) 解方程組得或

即A(－4,－2),B(8,4), 從而AB的中點為M(2,1).

由,

直線的垂直平分線方程

令, 得, ∴

(2)直線OQ的方程為x+y=0, 設

∵點P到直線OQ的距離d==,,

∴=.

∵P為拋物線上位于線段AB下方的點, 且P不在直線OQ上,

∴－4≤x<4－4或4－4< x≤8.

∵函數在區間上單調遞增,

∴當x=8時, ΔOPQ的面積取到最大值30