Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（Ⅰ）若函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

【解析】分析：（1）由函數(shù)有零點(diǎn)得：關(guān)于的方程（）有解

令，則，于是有關(guān)于的方程有正根，設(shè)，對(duì)m進(jìn)行討論即可；

（2）由題意可得，，變形為：，進(jìn)行分類討論化簡(jiǎn)整理可得.

詳解：（1）由函數(shù)有零點(diǎn)得：關(guān)于的方程（）有解

令，則

于是有，關(guān)于的方程有正根

設(shè)，則函數(shù)的圖象恒過點(diǎn)且對(duì)稱軸為

當(dāng)時(shí)，的圖象開口向下，故恰有一正數(shù)解

當(dāng)時(shí)，，不合題意

當(dāng)時(shí)，的圖象開口向上，故有正數(shù)解的條件是

解得：

綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（2）由“當(dāng)時(shí)，都有”得：

，②

∵，故②變形為：

當(dāng)時(shí)，不等式②簡(jiǎn)化為，此時(shí)實(shí)數(shù)

當(dāng)時(shí)，有

∴

∴，

∵當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

∴

綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍.