Question

【題目】已知函數f（x）=2x，g（x）=-x2+2x+b．

（1）若f（x）++1≥0對任意的x∈[1，3]恒成立，求m的取值范圍；

（2）若x1，x2∈[1，3]，對任意的x1，總存在x2，使得f（x1）=g（x2），求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）[-6，-∞）； （2）見解析.

【解析】

（1）根據h（x）＝f（x）1，結合勾函數的性質對任意的x∈[1，3]恒成立，即可求解m的取值范圍；

（2）根據對任意的x1，總存在x2，使得f（x1）＝g（x2），可得f（x）的值域是g（x）的值域的子集，即可求解b的范圍；

（1）函數f（x）=2x，令h（x）=f（x）++1=；

①當m=0時，可得h（x）=2x+1在x∈[1，3]恒成立；

②當m＜0時，可知f（x）=2x是遞增函數，y=在x∈[1，3]也是遞增函數，

∴h（x）在x∈[1，3]是遞增函數，此時h（x）min=h（1）=≥0，

可得：-6≤m＜0；

③當m＞0時，，所以函數h（x）=，滿足題意.

綜上所述：f（x）++1≥0對任意的x∈[1，3]恒成立，可得m的取值范圍是[-6，-∞）；

（2）由函數f（x）=2x，x∈[1，3]，

可得：2≤f（x）≤8；

由g（x）=-x2+2x+b．其對稱x=1，開口向下．

∵x∈[1，3]，

∴g（x）在x∈[1，3]上單調遞減．

g（x）max=g（1）=1+b；

g（x）min=g（3）=-3+b；

∵對任意的x1，總存在x2，使得f（x1）=g（x2），

∴f（x）的值域是g（x）的值域的子集；

即，

解得：無解．

故x1，x2∈[1，3]，對任意的x1，總存在x2，使得f（x1）=g（x2），此是b的取值范圍是空集．