Question

如圖，三棱錐中，底面，，，為的中點，點在上，且.

(Ⅰ)求證：平面平面；
(Ⅱ)求平面與平面所成的二面角的平面角（銳角）的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；

解析試題分析：（Ⅰ）主要利用線線垂直、線面垂直可證面面垂直；（Ⅱ）通過作平行線轉化到三角形內解角；當然也可建系利用空間向量來解.
試題解析：(Ⅰ)∵底面，且底面， ∴        1分
由，可得                                       2分
又∵ ，∴平面                             
注意到平面， ∴                                 3分
∵,為中點，∴                                4分
∵， 平面                                  5分
而平面，∴                        6分
(Ⅱ)如圖，以為原點、所在直線為軸、為軸建立空間直角坐標系.
則 8分


    10分
設平面的法向量.
則 
解得        12分
取平面的法向量為 則，
故平面與平面所成的二面角的平面角（銳角）的余弦值為.    14分
考點：立體幾何面面垂直的證明；二面角.