Question

【題目】已知，.

（1）令，求證：有唯一的極值點(diǎn)；

（2）若點(diǎn)為函數(shù)上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)為函數(shù)上的任意一點(diǎn)，求、兩點(diǎn)之間距離的最小值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在定理，說明函數(shù)在定義域上有唯一零點(diǎn)，再分析函數(shù)在該零點(diǎn)處函數(shù)值符號，可得證函數(shù)有唯一極值點(diǎn)；

（2）根據(jù)函數(shù)與關(guān)于直線，將直線平移后與分別與曲線、切于、，由此可得出的最小值.

（1）由題意知，所以，

由單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又，，

所以存在唯一的，使得，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；

因此，函數(shù)有唯一的極值點(diǎn)；

（2）由于與互為反函數(shù)，兩個函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，

如下圖，

將直線平移使得平移后的直線與函數(shù)的圖象相切，，

令，，可得點(diǎn).

將直線平移使得平移后的直線與函數(shù)的圖象相切，，

令，，可得點(diǎn)，

因此，、兩點(diǎn)間距離的最小值為.