Question

【題目】已知函數f（x）=ex+ax+b（a，b∈R）在x=ln2處的切線方程為y=x﹣2ln2． （Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若k為差數，當x＞0時，（k﹣x）f'（x）＜x+1恒成立，求k的最大值（其中f'（x）為f（x）的導函數）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f'（x）=ex+a，由已知得f'（ln2）=1，故eln2+a=1，解得a=﹣1． 又f（ln2）=﹣ln2，得eln2﹣ln2+b=﹣ln2，解得b=﹣2，
∴f（x）=ex﹣x﹣2，則f'（x）=ex﹣1，
當x＜0時，f'（x）＜0；當x＞0時，f'（x）＞0，
∴f（x）的單調區間遞增區間為（0，+∞），遞減區間為（﹣∞，0）；
（Ⅱ）由已知（k﹣x）f'（x）＜x+1，及f'（x）=ex﹣1，
整理得 在x＞0時恒成立．
令 ， ，
當x＞0時，ex＞0，ex﹣1＞0；
由（Ⅰ）知f（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上為增函數，
又f（1）=e﹣3＜0，f（2）=e2﹣4＞0，
∴存在x0∈（1，2）使得 ，此時
當x∈（0，x0）時，g'（x）＜0；當x∈（x0 ， +∞）時，g'（x）＞0
∴ ．
故整數k的最大值為2
【解析】（Ⅰ）求出原函數的導函數，由f'（ln2）=1求導a值，再由f（ln2）=﹣ln2求得b值，代入原函數的導函數，再由導函數的符號與原函數單調性間的關系確定原函數的單調區間；（Ⅱ）把當x＞0時，（k﹣x）f'（x）＜x+1恒成立，轉化為 在x＞0時恒成立．令 ，利用導數求其最小值得答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．