Question

【題目】設函數滿足：①對任意實數都有；②對任意，都有恒成立；③不恒為0，且當時，.

（1）求的值；

（2）判斷函數的奇偶性，并給出你的證明.

（3）定義“若存在非零常數，使得對函數定義域中的任意一個，均有，則稱為以為周期的周期函數”.試證明：函數為周期函數，并求出的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）偶函數；見解析（3）見解析，

【解析】

（1）令，，得，令，得，從而得到，再令，確定出的范圍，從而得到；（2）令，，結合，可得為偶函數；（3），得周期為，再分別令，，可得，，從而得到，結合周期性，得到答案.

（1）由于不恒為0，故存在，使，

令，，

則，

所以，

令，，

由，

令，得，

所以得到

又令，

因為當時，，所以，

所以，，故；

（2）定義域為,

令，,

得，

因為

所以，

所以為偶函數；

（3）由

取，得，

又為偶函數，

則，

即是以2為周期的周期函數；

令，得，即

再令，得，即.

而，解得，，，

由得，，，

所以

又由于是以2為周期的周期函數，.