Question

【題目】已知數列{an}，其前n項和為Sn ．
（1）若{an}是公差為d（d＞0）的等差數列，且{ }也為公差為d的等差數列，求數列{an}的通項公式；
（2）若數列{an}對任意m，n∈N* ， 且m≠n，都有 =am+an+ ，求證：數列{an}是等差數列．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意得：an=a1+（n﹣1）d，Sn=na1+ d，

∴ = 成等差數列，公差為d，

∴ =dn，

∴ ，

解得：d= ，a1=﹣ ，

則an= n﹣

（2）解：令m=2，n=1，則 =2a2，即 =a2，

整理得：a1+a3=2a2，即a1，a2，a3成等差數列，

下面用數學歸納法證明{an}成等差數列，

假設a1，a2，…，ak成等差數列，其中k≥3，公差為d，

則令m=k，n=1， =ak+a1+d，

∴2Sk+1=（k+1）（ak+a1+d）=k（ak+a1）+a1+ak+（k+1）d=2Sk+a1+ak+（k+1）d，

∴2ak+1=a1+ak+（k+1）d=2（a1+kd），即ak+1=a1+kd，

∴a1，a2，…，ak，ak+1成等差數列，

則對于一切自然數，數列{an}是等差數列

【解析】（1）利用等差數列的通項公式及前n項和公式表示出an與Sn ， 代入驗證即可確定出數列{an}的通項公式；（2）令m=2，n=1確定出a1 ， a2 ， a3成等差數列，再利用數學歸納法證明對于一切n≥3的自然數，數列{an}是等差數列即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等差關系的確定(如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列)，還要掌握等差數列的性質(在等差數列{an}中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；相隔等距離的項組成的數列是等差數列)的相關知識才是答題的關鍵．