Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣sinx,記f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x）.

（1）若h（x）＝axf'（x）是（0,+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若x∈（0,2π）,試判斷函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)個(gè)數(shù),并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）a≥1；（2）函數(shù)f（x）在（0,2π）上有且僅有唯一的極大值點(diǎn),無極小值點(diǎn)；理由詳見解析

【解析】

（1）只需h′（x）≥0在（0,+∞）恒成立,借助于三角函數(shù)的有界性,問題可解決.

（2）分x∈（0,1）,,,四種情形分別研究f（x）的單調(diào)性,進(jìn)而得出結(jié)論.

解：（1）∵,

∴ax+cosx,因?yàn)?/span>h（x）是（0,+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù),

∴h′（x）＝a﹣sinx≥0（x＞0）恒成立,因?yàn)?/span>sinx∈[﹣1,1],

故a≥1時(shí),h′（x）≥0恒成立,且導(dǎo)數(shù)為0時(shí)不連續(xù).

故a≥1即為所求.

（2）由（1）知,,

①當(dāng)x∈（0,1]時(shí),f′（x）≥1﹣cosx＞0,

此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增,無極值點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí),則,

∵,而由三角函數(shù)的性質(zhì)可知,,

∴,

此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增,無極值點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí),cosx＜0,則,

此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增,無極值點(diǎn)；

④當(dāng)時(shí),令,則,

∴函數(shù)g（x）單調(diào)遞減,

又,

∴存在唯一的,使得g（x0）＝0,

且當(dāng)時(shí),g（x）＝f′（x）＞0,f（x）單調(diào)遞增,

當(dāng)x∈（x0,2π）時(shí),g（x）＝f′（x）＜0,f（x）單調(diào)遞減,

故x0是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn),

綜上所述,函數(shù)f（x）在（0,2π）上有且僅有唯一的極大值點(diǎn),無極小值點(diǎn).