Question

橢圓

x2

3

+

y2

2

=1內有一點P（1，1），一直線過點P與橢圓相交于P₁，P₂兩點，弦P₁P₂被點P平分，則直線P₁P₂的方程為

2x+3y-5=0

．

Answer 1

分析：因為點P（1，1）在橢圓內，且弦P₁P₂被點P平分，所以可用“點差法”求相交弦所在直線方程，方法是將P₁，P₂兩點坐標代入橢圓方程，作差后將中點坐標代入即可得弦P₁P₂的斜率，最后由點斜式寫出直線方程

解答：解：設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），則

x 12 3 + y 12 2 =1 x 22 3 + y 22 2 =1

 
兩式相減得

(x1+x2)(x1-x2)

3

+

(y1+y2)(y1-y2)

2

=0
∵弦P₁P₂被點P平分，∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2代入上式得

y1-y2

x1-x2

=-

2

3

，即直線P₁P₂的斜率為-

2

3

∴直線P₁P₂的方程為 y-1=-

2

3

（x-1），即2x+3y-5=0
故答案為 2x+3y-5=0

點評：本題考察了直線與橢圓的位置關系，特別是直線與橢圓相交且已知相交弦中點坐標時，可采用“點差法”提高解題效率