Question

【題目】（本題滿分14分）如圖，已知橢圓：，其左右焦點為及，過點的直線交橢圓于兩點，線段的中點為，的中垂線與軸和軸分別交于兩點，且、、構成等差數列.

（1）求橢圓的方程；

（2）記△的面積為，△（為原點）的面積為．試問：是否存在直線，使得？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在直線，使得 ．

【解析】

試題分析：（1）求橢圓的標準方程，由已知、、構成等差數列，即，由橢圓的定義可得，，由已知焦點為及，可得，可求出，從而得橢圓的標準方程；（2）記△的面積為，△（為原點）的面積為．試問：是否存在直線，使得？說明理由，這是探索性命題，一般假設其存在，本題假設存在直線，使得 ，由題意直線不能與軸垂直，故設方程為，將其代入，整理得 ，設，，由根與系數關系，表示出點的坐標，寫出中垂線方程，得點的坐標，由于和相似，若，則，建立方程，求解斜率的值，若有解，則存在，若無解，則不存在.

試題解析：（1）因為、、構成等差數列，

所以，所以. （2分）

又因為，所以， （3分）

所以橢圓的方程為. （4分）

（2）假設存在直線，使得 ，顯然直線不能與軸垂直．

設方程為 （5分）

將其代入，整理得 （6分）

設，，所以 ．

故點的橫坐標為．所以 ． （8分）

因為 ，所以 ， 解得 ，

即 （10分）

和相似，若，則 （11分）

所以 ， （12分）

整理得 ． （13分）

因為此方程無解，所以不存在直線，使得 ． （14分）