Question

【題目】已知函數(shù)，任取兩個不相等的正數(shù)， ，總有，對于任意的，總有，若有兩個不同的零點，則正實數(shù)的取值范圍為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：先根據(jù)任取兩個不相等的正數(shù)， ，總有可得函數(shù)為單調(diào)遞增，再根據(jù)對于任意的，總有，利用換元法可求出函數(shù)的表達式，然后根據(jù)有兩個不同的零點等價為在上有兩個不同的解，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求得正實數(shù)的取值范圍.

詳解：∵任取兩個不相等的正數(shù)， ，總有

∴函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)

令，則.

又∵對于任意的，總有

∴

令，則

∵函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)

∴，即.

∴，則.

∵有兩個不同的零點

∴在上有兩個不同的解

設(shè)，則.

∴當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增.

∴

∴，即.

∵為正實數(shù)

∴

故答案為.