Question

如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，
M，N分別是AB，PC的中點.
（1）求證：MN⊥CD；
（2）若∠PDA=45°.求證：MN⊥平面PCD.

Answer 1

證明略

 （1）連接AC，AN，BN，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，
在Rt△PAC中，N為PC中點，
∴AN=PC.
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
從而在Rt△PBC中，BN為斜邊PC上的中線，
∴BN=PC.
∴AN=BN，
∴△ABN為等腰三角形，
又M為底邊的中點，∴MN⊥AB，
又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
（2）連接PM、CM,∵∠PDA=45°，PA⊥AD，∴AP=AD.
∵四邊形ABCD為矩形.
∴AD=BC，∴PA=BC.
又∵M為AB的中點，∴AM=BM.
而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.
又N為PC的中點，∴MN⊥PC.
由（1）知，MN⊥CD，PC∩CD=C,
∴MN⊥平面PCD.