Question

【題目】已知橢圓C：，其中（e為橢圓離心率），焦距為2，過點M（4，0）的直線l與橢圓C交于點A，B，點B在AM之間．又點A，B的中點橫坐標為．

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）y=（x﹣4）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）運用離心率公式和橢圓的a，b，c的關系，解得a，b，即可得到橢圓方程；

（Ⅱ）設出直線l的方程，聯立橢圓方程，消去y，運用判別式大于0，以及韋達定理和中點坐標公式，求出直線的斜率，即可得到所直線方程．

試題解析：（Ⅰ）由條件橢圓C：，其中（e為橢圓離心率），焦距為2，可得c=1，a=2，

故b2=a2﹣c2=3，

橢圓的標準方程是．

（Ⅱ）由過點M（4，0）的直線l與橢圓C交于點A，B，點B在AM之間．，可知A，B，M三點共線，

設點A（x1，y1），點B（x2，y2）．

若直線AB⊥x軸，則x1=x2=4，不合題意．

當AB所在直線l的斜率k存在時，設直線l的方程為y=k（x﹣4）．

由消去y得，（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．①

由①的判別式△=322k4﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）=144（1﹣4k2）＞0，

解得k2＜，

x1+x2=，

由又點A，B的中點橫坐標為．可得

解得k2=，即有k=±．

y=（x﹣4）．

直線l的方程：y=（x﹣4）．