Question

【題目】（本題滿分15分）如圖，在四棱錐中，平面PAD⊥平面ABCD， ，，E是BD的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：EC//平面APD；

（Ⅱ）求BP與平面ABCD所成角的正切值；

（Ⅲ）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明線面平行常用到的思路就是證明平面外的直線平行于平面內(nèi)的直線（Ⅱ）求BP與平面ABCD所成角首先找到斜線在平面中的射影，找到所求角，通過(guò)求解三角形三邊得到角的大小（Ⅲ）利用三垂線定理作出二面角的平面角∠PGH，解三邊即可求得角的正弦值

試題解析：（Ⅰ）如圖，取PA中點(diǎn)F，連結(jié)EF、FD，

∵E是BP的中點(diǎn)，∴EF//AB且，

又∵∴EFDC∴四邊形EFDC是平行四邊形，故得EC//FD 2分

又∵EC平面PAD，FD平面PAD∴EC//平面ADE 4分

（Ⅱ）取AD中點(diǎn)H，連結(jié)PH，因?yàn)镻A＝PD，

所以PH⊥AD

∵平面PAD⊥平面ABCD于AD ∴PH⊥面ABCD

∴HB是PB在平面ABCD內(nèi)的射影 ∴∠PBH是PB與平面ABCD所成角 6分

∵四邊形ABCD中，

∴四邊形ABCD是直角梯形，

設(shè)AB=2a，則，在中，易得，

，又∵，

∴是等腰直角三角形，

∴

∴在中， 10分

（Ⅲ）在平面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)H作AB的垂線交AB于G點(diǎn)，連結(jié)PG，則HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，所以∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a 11分

，又∴，

在中，

∴二面角P-AB-D的的正弦值為 15分