Question

已知函數(shù)，.
(1)求曲線f(x)在點(diǎn)A處的切線方程；
(II)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(III)是否存在實(shí)數(shù)，使當(dāng)時(shí)恒成立？若存在，求 出實(shí)數(shù)a;若不存在，請說明理由

Answer 1

(Ⅰ)∵ a＞0，，
∴
=，              …… 2分
于是，，所以曲線y = f（x）在點(diǎn)A（0，f（0））處的切線方程為，即（a－2）x－ay + 1 = 0．               ……… 4分
(Ⅱ)∵ a＞0，e^ax＞0，∴ 只需討論的符號(hào)．  ………… 5分
ⅰ）當(dāng)a＞2時(shí)，＞0，這時(shí)f ′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（－∞，+∞）上為增函數(shù)．
ⅱ）當(dāng)a = 2時(shí)，f ′（x）= 2x²e^2x≥0，函數(shù)f（x）在（－∞，+∞）上為增函數(shù)．…6分
ⅲ）當(dāng)0＜a＜2時(shí)，令f ′（x）= 0，解得，．
當(dāng)x變化時(shí)， f '（x）和f（x）的變化情況如下表：

x
f '（x）	+	0	－	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴f(x)在，,為增函數(shù),f(x)在為減函數(shù)．   …… 9分
(Ⅲ)當(dāng)a∈（1，2）時(shí)，∈（0，1）．由(Ⅱ)知f（x）在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，，……10分
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)恒成立，等價(jià)于恒成立．……11分
當(dāng)a∈（1，2）時(shí)，，設(shè)，則，表明g(t) 在（0，1）上單調(diào)遞減，于是可得，即a∈（1，2）時(shí)恒成立，……13分  符合條件的實(shí)數(shù)a不存在．

略