Question

已知數列的首項其中，，令集合.
（1）若是數列中首次為1的項，請寫出所有這樣數列的前三項；
（2）求證：對恒有成立；
（3）求證：.

Answer 1

（1）9，3，1或2，3，1；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

試題分析：（1）從入手，反過來求.從條件可看出，首先分討論，然后分討論.
（2）首先由遞推公式將用表示出來，再與比較即可.
（3）注意.當或2、3時，可求出前三項，前三項就是1、2、3三個數，結論成立.
那么當時，結論是否成立？由遞推公式的結構可以看出，當時，數列中的項最終必將小于或等于3.現在的問題是如何來證明這一點.注意（2）小題的結論，由可得，這說明，“若，則”，這樣依次遞減下去，數列中的項最終必將小于或等于3.一旦小于等于3，則必有1、2、3，從而問題得證.
試題解析：（1）由題設知，數列各項均大于0.
當時，.若，則；若，則.
所以前三項分別為9，3，1或2，3，1.
當時，，不合題意，舍去.
綜上得，前三項分別為9，3，1或2，3，1.
（2）①當被3除余1時，由已知可得,；
②當被3除余2時，由已知可得,.
若仍為3的倍數，則；若不為3的倍數，則.
總之，都有；
③當被3除余0時，由已知可得.
若都是3的倍數，則.
若是3的倍數，不是3的倍數，則.
若不是3的倍數，是3的倍數，則.
以上三種情況，都有；
綜合①②③，有.
（3）注意.若，則，.
若，則，.
若，則，.
以上三種情況都有（實際上）.
下面證明，當時，數列中必存在某一項.
由（2）可得，
所以，對于數列中的任意一項，“若，則”.由此可知，若仍然大于3，則，這樣依次遞減下去，最終必存在某一項.
所以如果，則數列中必存在某一項.
由前面的計算知，只要數列中存在小于等于3的項，則必有1、2、3三個數，
所以.