Question

（本小題滿分12分）已知直三棱柱中，，，點在上．

（1）若是中點，求證：∥平面;
（2）當時，求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）證明：連結BC₁，交B₁C于E，DE．
∵ 直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AB中點，
∴側面B B₁C₁C為矩形，DE為△ABC₁的中位線，
∴ DE// AC₁．                 …………………………………2分
因為 ∵DE平面B₁CD， AC₁平面B₁CD，                    
∴AC₁∥平面B₁CD．     …………………………………4分
（2）  ∵ AC⊥BC，
所以如圖，以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz．     

則B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A₁ (0, 0, c)，B₁ (3, 0, 4)．
設D (a, b, 0)（，），         …………………5分
∵點D在線段AB上，且， 即．
∴．                    …………………7分
所以，，．                     
高三數學（理工類）參考答案第2頁（共4頁）
平面BCD的法向量為． ……………………………………8分
設平面B₁ CD的法向量為，
由 ，， 得 ，
所以，． ……………………………………10分                   
設二面角的大小為， ． ……………………11分
所以二面角的余弦值為．         ……………………12分

略