Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上有唯一的極值點，求的取值范圍，并證明：.

Answer 1

【答案】（1）遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；（2），見解析

【解析】

（1）當時，求出函數(shù)的定義域和導數(shù)，結合導數(shù)的取值的正負，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）求得，令，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上有唯一的極值點，得出在上有唯一的解，根據(jù)求得的范圍，再由由，得到，結合函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解．

（1）由題意，函數(shù)，

當時，函數(shù).

則，

令，即且，可得，

令，即，可得.

所以當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.

（2）由函數(shù)，則，

記，

因為在區(qū)間上有唯一的極值點，又，

根據(jù)二次函數(shù)的圖象分析可知，只需即可，即，解得，

所以實數(shù)的取值范圍是，

又由，可得，

所以，

又由函數(shù)，可得，

可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，

所以.