Question

已知數列{a_n}中，a₁=5且a_n=2a_n-1+2ⁿ-1(n≥2且n∈N^*).
(Ⅰ)證明：數列為等差數列；
(Ⅱ)求數列{ a_n-1}的前n項和S_n

Answer 1

（1）數列為首項是2公差是1的等差數列.
（2）S_n=n·2ⁿ⁺¹

(1)根據等差數列的定義是定值即可.
(2)在第（I）問的基本上求出的通項公式，進而求出{ a_n-1}的通項公式,然后根據數列求和的方法求值即可。
解：(Ⅰ)設b_n=, b₁==2     ……………………………………………1分
b_n+1- b_n= …4分
所以數列為首項是2公差是1的等差數列.     …………………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
∴a_n-1=(n+1)·2ⁿ         …………………………7分
∵S_n=2·2¹+3·2²+…+n·2^n-1+(n+1)·2ⁿ        ①
∴2S_n=2·2²+3·2³+…+ n·2ⁿ+(n+1)·2ⁿ⁺¹            ②……………………9分
①—②，得 - S_n=4+（2²+2³+…+2ⁿ）-(n+1)·2ⁿ⁺¹
∴S_n=-4-4（2ⁿ⁺¹-1）+(n+1)·2ⁿ⁺¹  
∴S_n=n·2ⁿ⁺¹