Question

【題目】已知函數.

（1）求在區間上的值域；

（2）若過點存在條直線與曲線相切，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)； (2) .

【解析】

（1）利用導數求得極值點比較f（-2），，f（1）的大小即得結論；
（2）利用導數的幾何意義得出切線方程4，設g（x）=4x3-6x2+t+3，則“過點P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切”，
等價于“g（x）有3個不同的零點”．利用導數判斷函數的單調性進而得出函數的零點情況，得出結論；

（1）由得.

令,得或.

因為,,,,

所以在區間上的最大值為.

（2）設過點的直線與曲線相切于點,

則,且切線斜率為,

所以切線方程為,

因此.

整理得.

設,

則“過點存在3條直線與曲線相切”等價于“有3個不同零點”.

.

與的變化情況如下:

		0		1
		0		0

所以, 是的極大值, 是的極小值.

當,即時,

此時在區間和上分別至多有1個零點,

所以至多有2個零點.

當,即時,

此時在區間和上分別至多有1個零點,所以至多有個零點.

當且,即時,

因為,,

所以分別在區間,和上恰有1個零點.

由于在區間和上單調,

所以分別在區間和上恰有1個零點.

綜上可知,當過點存在條直線與曲線相切時,的取值范圍是.