Question

【題目】某臺函數(shù)計算器上有一個顯示屏和兩個操作鍵．若按一下第一個操作鍵，則將原顯示屏上的數(shù)變?yōu)?/span>（表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)）；若按一下第二個操作鍵，則將原顯示屏上的數(shù)變?yōu)?/span>．稱按一下任意一個操作鍵為一次操作．現(xiàn)在顯示屏上的數(shù)為1．問：

（1）是否可以經(jīng)過有限次操作，顯示屏上出現(xiàn)整數(shù)2000？說明理由．

（2）小于2000的整數(shù)中有多少個數(shù)可以經(jīng)過有限次操作在顯示屏上出現(xiàn)？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）233

【解析】

（1）不可能．

將數(shù)化成二進(jìn)制．則按第一個操作鍵表示將顯示屏上的數(shù)的最后一位去掉；按第二個操作鍵表示將顯示屏上的數(shù)后面加上01．

當(dāng)初始數(shù)為1時，經(jīng)過以上兩種操作后得到的數(shù)沒有兩個1相鄰，而2000化成二進(jìn)制為，其中有兩個1相鄰，從而，顯示屏上不可能出現(xiàn)整數(shù)2000．

（2）若先進(jìn)行第二種操作，后進(jìn)行第一種操作，則相當(dāng)于在原數(shù)后加一個0．故任意一個二進(jìn)制中沒有兩個1相鄰的數(shù)均可以經(jīng)過有限次操作可得．

于是，在顯示屏上可以出現(xiàn)小于2000的整數(shù)的個數(shù)等價于不大于，且沒有兩個1相鄰的自然數(shù)的個數(shù)．

又含有個1且不大于的自然數(shù)有個，從而，滿足條件的自然數(shù)個數(shù)為．