Question

設正項數列{a_n}的前n項和為S_n，若{a_n}和{}都是等差數列，且公差相等．
(1)求{a_n}的通項公式；
(2)若a₁，a₂，a₅恰為等比數列{b_n}的前三項，記數列c_n＝，數列{c_n}的前n項和為T_n.求證：對任意n∈N^*，都有T_n<2.

Answer 1

(1) a_n＝   (2)見解析

解：(1)設{a_n}的公差為d，
則＝＝·n，且a₁－＝0.
又d＝，所以d＝，
a₁＝＝，a_n＝.
(2)證明：易知b_n＝×3^n－1，
∴c_n＝.
當n≥2時， <＝＝－，
∴當n≥2時，T_n＝＋＋…＋<＋＋＋…＋－＝2－<2，且T₁＝<2，
故對任意n∈N^*，都有T_n<2.