Question

在平面直角坐標系xOy中，已知點A(-1, 0)、B(1, 0), 動點C滿足條件：△ABC的周長為2＋2.記動點C的軌跡為曲線W.
(Ⅰ)求W的方程；
(Ⅱ)經過點（0, ）且斜率為k的直線l與曲線W有兩個不同的交點P和Q，
求k的取值范圍；
（Ⅲ）已知點M（，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的條件下，是否存在常數k，使得向量與共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）見解析

(Ⅰ) 設C（x, y）,
∵, ,
∴,
∴由定義知，動點C的軌跡是以A、B為焦點，長軸長為2的橢圓除去與x軸的兩個交點.
∴. ∴.
∴W:   . …………………………………………… 2分
(Ⅱ) 設直線l的方程為，代入橢圓方程，得.
整理，得.        ①………………………… 5分
因為直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于
，解得或.
∴滿足條件的k的取值范圍為………… 7分
（Ⅲ）設P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂),則＝（x₁+x₂，y₁+y₂),
由①得.                ②
又               ③
因為，，所以.……………………… 11分
所以與共線等價于.
將②③代入上式，解得.
所以不存在常數k，使得向量與共線.