Question

在平面直角坐標系中，有一個以和為焦點、離心率為的橢圓，設橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與軸的交點分別為A、B，且向量。求：
（Ⅰ）點M的軌跡方程；     （Ⅱ）的最小值。

Answer 1

（Ⅰ） + ="1" (x>1,y>2)；（Ⅱ）||的最小值為3.

（Ⅰ）橢圓方程可寫為: + ="1  " 式中a>b>0 , 且 得a²=4,b²=1,所以曲線C 的方程為:  x²+ ="1" (x>0,y>0).
y=2(0<x<1) y '=－
設P(x₀,y₀),因P在C上,有0<x₀<1, y₀=2,
y '|_x=x0= － ,得切線AB的方程為: y=－ (x－x₀)+y₀ .
設A(x,0)和B(0,y),由切線方程得 x= , y= .
由= +得M的坐標為(x,y), 由x₀,y₀滿足C的方程,
得點M的軌跡方程為: + ="1" (x>1,y>2)
(Ⅱ)| |²= x²+y²,  y²= ="4+" ,
∴| |²= x²－1++5≥4+5=9.且當x²－1= ,即x=>1時,上式取等號.
故||的最小值為3.