Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別是,離心率,過點且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為.

（1）求橢圓的方程;

（2）若直線過橢圓的右焦點,且與軸不重合,交橢圓于兩點,過點且與垂直的直線與圓交于兩點,求四邊形面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）過點且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為通徑即，而，解方程組得（2）由于四邊形對角線相互垂直，所以四邊形面積，其中為直線與圓的弦長，可根據圓中垂徑定理求解，而為直線與橢圓的弦長，可根據弦長公式求解，先討論斜率不存在的情形，，再考慮斜率存在情形：設的方程聯立方程組，結合韋達定理可得，根據點到直線距離公式可得，代入得，綜上可得四邊形面積的取值范圍為.

試題解析：（1）由于,將代入橢圓方程,即,由題意知,即,又,所以橢圓的方程.

（2）當直線與軸不垂直時,設的方程,

由,得,則,

所以,過點且與垂直的直線,圓心到的距離是,所以.

故四邊形面積.可得當與軸不垂直時,四邊形面積的取值范圍為.當與軸垂直時,其方程為,四邊形面積為,綜上,四邊形面積的取值范圍為.