Question

如圖甲，△ABC是邊長為6的等邊三角形，E，D分別為AB、AC靠近B、C的三等分點，點G為BC邊的中點．線段AG交線段ED于F點，將△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，連接AB、AC、AG形成如圖乙所示的幾何體。

（1）求證BC⊥平面AFG；
（2）求二面角B－AE－D的余弦值．

Answer 1

(1)詳見解析， (2)

試題分析：(1)折疊問題，首先要明確折疊前后量的變化，尤其是垂直條件的變化，本題要證明線面垂直，首先找線線垂直，折疊前后都有條件,而折疊后直線變為兩條相交直線，因此可由線面垂直判定定理得到BC⊥平面AFG ，(2)求二面角，有兩個方法，一是作出二面角的平面角，二是利用空間向量計算；本題易建立空間直角坐標系，較易表示各點坐標，因此選擇利用空間向量求二面角.下面的關鍵是求出兩個平面的法向量，平面ADE的一個法向量易求，而平面ABE的一個法向量則需列方程組求解，最后利用數量積求夾角的余弦值
試題解析：(1) 在圖甲中，由△ABC是等邊三角形，E，D分別為AB，AC的三等分點，點G為BC邊的中點，易知DE⊥AF，DE⊥GF，DE//BC．            2分
在圖乙中，因為DE⊥AF，DE⊥GF，AFFG=F，所以DE⊥平面AFG．
又DE//BC，所以BC⊥平面AFG．                    4分
(2) 因為平面AED⊥平面BCDE，平面AED平面BCDE=DE，DE⊥AF，DE⊥GF，所以FA，FD，FG兩兩垂直．
以點F為坐標原點，分別以FG，FD，FA所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

則，，，所以，0)．              6分
設平面ABE的一個法向量為．
則，即，
取，則，，則．            8分
顯然為平面ADE的一個法向量，
所以．                  10分
二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為．   12分