Question

【題目】如圖所示，是村里一個小湖的一角，其中. 為了給村民營造豐富的休閑環境，村委會決定在直線湖岸與上分別建觀光長廊與，其中是寬長廊，造價是元/米；是窄長廊，造價是元/米；兩段長廊的總造價預算為萬元（恰好都用完）；同時，在線段上靠近點的三等分點處建一個表演舞臺，并建水上通道（表演舞臺的大小忽略不計），水上通道的造價是元/米.

（1）若規劃寬長廊與窄長廊的長度相等，則水上通道的總造價需多少萬元？

（2）如何設計才能使得水上通道的總造價最低？最低總造價是多少萬元？

Answer 1

【答案】（1）水上通道AD的總造價為萬元；

【解析】

試題分析：

（1）設AB=AC=x（單位：百米），由題意可得12x=12，即x=1，求得BD，在中，由余弦定理求得AD的長，即可得到所求造價；（2）設AB=x，AC=y（單位：百米），則兩段長廊的總造價為，運用余弦定理求得BC，再在與中，由余弦定理及，求得的解析式，化簡整理，運用配方，即可得到所求最小值，及x，y的值；也可用坐標求解．

試題解析：

（1）設AB=AC=x（單位：百米），則寬長廊AB造價為8x萬元，窄長廊AC造價為4x 萬元，

故兩段長廊的總造價為12x萬元，所以12x=12，得x=1，

又，

是邊長為1的正三角形，

又點D為線段BC上靠近點B的三等分點，所以,

在中，由余弦定理得

，

，

又水上通道的造價是6萬元/百米，所以水上通道的總造價為萬元.

（2）法一：設AB=x，AC=y（單位：百米），

則兩段長廊的總造價為，

即，在中，由余弦定理得

在與中，由余弦定理及，得

,

又，得

當且僅當時，AD有最小值，

故總造價有最小值萬元，此時，

即當寬長廊AB為百米（75米）、窄長廊AC為百米（150米）時，

所以水上通道AD有最低總造價為萬元.

法二：由，平方得，以下略.

法三：以A為原點，AP為x軸建立平面直角坐標系，

求出D的坐標得，以下略.