Question

【題目】如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）

（1）求證：CD⊥平面ADD1A1
（2）若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為 ，求k的值
（3）現將與四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼成一個新的四棱柱，規定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為f（k），寫出f（k）的解析式．（直接寫出答案，不必說明理由）

Answer 1

【答案】
（1）

證明：取DC的中點E，連接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，

∴四邊形ABED是平行四邊形，

∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，

又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．

∵側棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD，

∵AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1

（2）

解：以D為坐標原點， 、 、 的方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，

則A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1）．

∴ ， ， ．

設平面AB1C的一個法向量為 =（x，y，z），則 ，取y=2，則z=﹣6k，x=3．∴ ．

設AA1與平面AB1C所成角為θ，則 = = = ，解得k=1，故所求k=1．

（3）

解：由題意可與左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4種不同方案．

寫出每一方案下的表面積，通過比較即可得出f（k）=

【解析】（1）取DC得中點E，連接BE，可證明四邊形ABED是平行四邊形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又側棱AA1⊥底面ABCD，可得AA1⊥DC，利用線面垂直的判定定理即可證明．（2）通過建立空間直角坐標系，求出平面的法向量與斜線的方向向量的夾角即可得出；（3）由題意可與左右平面ADD1A1 ， BCC1B1 ， 上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4種不同方案．寫出每一方案下的表面積，通過比較即可得出f（k）．
【考點精析】利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．