Question

【題目】函數

（1）當時，求函數的定義域；

（2）若，請判定的奇偶性；

（3）是否存在實數，使函數在遞增，并且最大值為1，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）定義域為；（2）奇函數；（3）存在，.

【解析】

試題分析：（1）當時，函數的定義域為，；（2），函數的定義域為，即，關于原點對稱，又，所以函數為奇函數；（3）假設存在，設，由于，所以在區間上單調遞減，若底數，根據復合函數單調性可知，函數在區間上單調遞減，不符合題意，若底數，根據復合函數單調性可知，函數在區間上單調遞增，所以當時，取得最大值1，即，，所以，符合題意.

試題解析：（1）由題意：，，即，

所以函數的定義域為.

（2）易知，

∵，且，∴，關于原點對稱，

又∵=，

∴=-=-，

∴為奇函數.

（3）令， ，在上單調遞減，

又∵函數在遞增， ∴，

又函數在的最大值為1，，

即，.