Question

【題目】有三個球，第一個球內切于正方體的六個面，第二個球與這個正方體的各條棱相切，第三個球過這個正方體的各個頂點，若正方體的棱長為，求這三個球的表面積.

Answer 1

【答案】（1），（2），（3）.

【解析】試題分析：（1）)正方體的內切球球心是正方體的中心，切點是六個面(正方形)的中心，據此可求半徑、面積；（2）球與正方體各棱的切點在每條棱的中點，過球心作正方體的對角面得截面，對棱之間距離就是球直徑；（3）正方體的各個頂點在球面上， 正方體的對角線就是球的直徑.

試題解析：(1)正方體的內切球球心是正方體的中心，切點是六個面(正方形)的中心，經過四個切點及球心作截面，如圖(1)，所以有2r1=a，r1=，所以S1=4π=πa2.

(2)球與正方體各棱的切點在每條棱的中點，過球心作正方體的對角面得截面，如圖(2)，所以有2r2=a，r2=a，所以S2=4π=2πa2.

(3)正方體的各個頂點在球面上，過球心作正方體的對角面得截面，如圖(3)，所以有2r3=a，r3=a，所以S3=4π=3πa2.