Question

矩形的中心在坐標原點，邊與軸平行，=8，=6.分別是矩形四條邊的中點，是線段的四等分點,是線段的四等分點.設直線與,與,與的交點依次為.

（1）求以為長軸，以為短軸的橢圓Q的方程；
（2）根據條件可判定點都在（1）中的橢圓Q上，請以點L為例，給出證明（即證明點L在橢圓Q上）.
（3）設線段的（等分點從左向右依次為，線段的等分點從上向下依次為，那么直線與哪條直線的交點一定在橢圓Q上？（寫出結果即可，此問不要求證明）

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）

試題分析：根據長軸長,短軸長,可求出橢圓的方程；根據點的坐標可寫出直線的方程，同理也可寫出直線的方程，再求出它們的交點的坐標，驗證在橢圓上即可得證；類比（2）的結論，即可得到直線與直線的交點一定在橢圓Q上．
試題解析：
根據題意可知，橢圓的焦點在軸上，可設其標準方程為，
因為長軸長,短軸長，所以，
所以所求的橢圓的標準方程為：．
由題意知，
可得直線的方程為，直線的方程為，
聯立可解得其交點，將的坐標代入橢圓方程成立，即點在橢圓上得證．
另法：設直線、交點，
由三點共線得：                 ①
由三點共線得：            ②
①②相乘，整理可得，即
所以L在橢圓上．
（3）類比（2）的結論，即可得到直線與直線的交點一定在橢圓Q上．