Question

【題目】先將函數y=f（x）的圖象向左平移 個單位，然后再將所得圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍，最后再將所得圖象向上平移1個單位，得到函數y=sinx的圖象．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數y=g（x）與y=f（x）的圖象關于點M（ ，2）對稱，求函數y=g（x）在[0， ]上的最小值和最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可得，把函數y=sinx的圖象向下平移1個單位得y=sinx﹣1的圖象，
然后再將y=sinx﹣1圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的 倍，得到y=sin2x﹣1的圖象，
最后將函數y=sin2x﹣1的圖象向右平移 個單位得y=sin2（x﹣ ）﹣1的圖象，
所以函數y=f（x）的表達式是y=sin（2x﹣ ）﹣1．
（Ⅱ）設函數y=f（x）=sin（2x﹣ ）﹣1圖象任意一點為P（m，n），點P（m，n）關于點M（ ，2）對稱點為Q（x，y），
由于函數y=g（x）與y=f（x）的圖象關于點M（ ，2）對稱，點Q（x，y）是函數y=g（x）圖象上的點．
由中點坐標公式可得m+x= 且 n+y=4，即 m= ﹣x且 n=4﹣y．
由點P（m，n）在函數 y=sin（2x﹣ ）﹣1的圖象上，可得n=sin（2m﹣ ）﹣1，即有4﹣y=sin[2（ ﹣x）﹣ ）]﹣1，
化簡得y=sin（2x﹣ ）+5，所以函數y=g（x）的解析式為y=sin（2x﹣ ）+5．
由于x∈[0， ]，所以y=g（x）=sin（2x﹣ ）+5，根據2x﹣ ∈[﹣ ， ]，y=sin（2x﹣ ）+5∈[4，5+ ]，
函數y=g（x）在[0， ]的最小值和最大值分別為4和5+
【解析】（Ⅰ）由條件利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，得出結論．（Ⅱ）由條件利用兩個函數的圖象關于某個點對稱的性質，正弦函數的定義域和值域，求得函數y=g（x）在[0， ]的最小值和最大值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關知識，掌握圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．