Question

現有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇．為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數大于2的人去參加乙游戲．
（Ⅰ）求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；
（Ⅱ）用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數，記ξ=|X-Y|，求隨機變量ξ的分布列與數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為

1

3

，去參加乙游戲的人數的概率為

2

3

．設“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件A_i（i=0，1，2，3，4），故P（A_i）=

C

i 4

（

1

3

）ⁱ（

2

3

）^4-i．由此能求出這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率．
（Ⅱ）ξ的所有可能取值為0，2，4，由于A₁與A₃互斥，A₀與A₄互斥，求出相應的概率，可得ξ的分布列與數學期望．

解答：（Ⅰ）依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為

1

3

，
去參加乙游戲的人數的概率為

2

3

．
設“這4個人中恰有2人去參加甲游戲”為事件A_i（i=0，1，2，3，4），
P（A_i）=

C

i 4

（

1

3

）ⁱ（

2

3

）^4-i．
這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率為P（A₂）=

C

2 4

（

1

3

）2（

2

3

）2=

8

27

．
（Ⅱ）ξ的所有可能取值為0，2，4，由于A₁與A₃互斥，A₀與A₄互斥，
故P（ξ=0）=P（A₂）=

8

27

，
P（ξ=2）=P（A₁）+P（A₃）=

40

81

，
P（ξ=4）=P（A₀）+P（A₄）=

17

81

，
∴ξ的分布列是

ξ	0	2	4
P	8 27	40 81	17 81

數學期望Eξ=0×

8

27

+2×

40

81

+4×

17

81

=

148

81

．

點評：本題考查概率知識的求解，考查互斥事件的概率公式，考查離散型隨機變量的分布列與期望，屬于中檔題．