Question

【題目】已知=（sinx，cosx），=（cosφ，sinφ）（|φ|＜）．函數

f（x）= 且f（－x）=f（x）．

（Ⅰ）求f（x）的解析式及單調遞增區間；

（Ⅱ）將f（x）的圖象向右平移單位得g（x）的圖象，若g（x）+1≤ax+cosx在x∈[0， ]上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）f（x）=sin（x+），；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（1）利用向量的坐標運算得到，再由f（-x）=f（x）可知函數f（x）的圖象關于直線x=對稱，所以+φ=+kπ，進而得到φ=，利用三角函數的性質求解單調區間即可；

（2）將f（x）的圖象向右平移單位得g（x）= sinx，即sinx+1≤ax+cosx在x∈[0，]上恒成立，利用數形結合分別研究h（x）=sinx-cosx和φ（x）= ax—1即可.

試題解析：

（Ⅰ）∵f（x）==sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ），

再由f（-x）=f（x）可知函數f（x）的圖象關于直線x=對稱，

∴+φ=+kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=

∴f（x）=sin（x+），

由2kπ-≤ x+≤2kπ+可得2kπ-≤x≤ 2kπ+，

∴函數的遞增區間為[2kπ-，2kπ+]，k∈Z；

（Ⅱ）由圖象平移易知g（x）=sinx，即sinx+1≤ax+cosx在x∈[0，]上恒成立．

也即sinx-cosx≤ax-1在x∈[0，]上恒成立.

令h（x）=sinx-cosx=sin（x-），x∈[0，]；

φ（x）= ax-1

如下圖：h（x）的圖象在φ（x）圖象的下方，

則： a ≥kAB==，故.