Question

【題目】已知都是各項(xiàng)不為零的數(shù)列，且滿足，，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和，是公差為的等差數(shù)列.

（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若（是不為零的常數(shù)），求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）若（為常數(shù)，），（，），對任意，，求出數(shù)列的最大項(xiàng)（用含式子表達(dá)）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）代入數(shù)據(jù)得到，根據(jù)通項(xiàng)和前項(xiàng)和關(guān)系并驗(yàn)證得到答案.

（2）代入數(shù)據(jù)化簡得到，退項(xiàng)作減法得到（），再驗(yàn)證的情況得到答案.

（3）根據(jù)題意代數(shù)化簡得到，令，證明時，單調(diào)遞減，得到最大項(xiàng).

（1）因?yàn)?/span>，所以，

由，得，

當(dāng)時，，兩式作差，可得，

當(dāng)時，滿足上式，則.

（2），當(dāng)時，，

兩式相減得：，

即，即，

又，所以，即，

所以當(dāng)時，，兩式相減得：，

所以數(shù)列是從第二項(xiàng)起成公差為的等差數(shù)列.

又當(dāng)時，由，得，

當(dāng)時，由，得，

故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.

（3）當(dāng)時，，

因?yàn)?/span>，所以，即，

所以，即，即，

故從第二項(xiàng)起數(shù)列是等比數(shù)列，所以當(dāng)時，，

，

另外由已知條件可得，又，

所以，因而，

令，則，

故對任意的時，，恒成立，

所以時，，單調(diào)遞減，中最大項(xiàng)為.