Question

【題目】如圖所示，正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1，E，F分別是棱AA′，CC′的中點(diǎn)，過(guò)直線E，F的平面分別與棱BB′、DD′交于M，N，設(shè)BM＝x，x∈[0，1]，給出以下四個(gè)命題：

①平面MENF⊥平面BDD′B′；

②當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)，四邊形MENF的面積最小；

③四邊形MENF周長(zhǎng)L＝f（x），x∈[0，1]是單調(diào)函數(shù)；

④四棱錐C′﹣MENF的體積V＝h（x）為常函數(shù)；

以上命題中假命題的序號(hào)為（　　）

A. ①④B. ②C. ③D. ③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

①利用面面垂直的判定定理去證明平面；②四邊形的對(duì)角線是固定的，所以要使面積最小，則只需的長(zhǎng)度最小即可；③判斷周長(zhǎng)的變化情況；④求出四棱錐的體積，進(jìn)行判斷．

①連結(jié)，，則由正方體的性質(zhì)可知，平面，所以平面平面，所以①正確；②連結(jié)，因?yàn)?/span>平面，所以，四邊形的對(duì)角線是固定的，所以要使面積最小，則只需的長(zhǎng)度最小即可，此時(shí)當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)長(zhǎng)度最小，對(duì)應(yīng)四邊形的面積最小，所以②正確；③因?yàn)?/span>，所以四邊形是菱形，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度由大變小，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度由小變大，所以函數(shù)不單調(diào)，所以③錯(cuò)誤；④連結(jié)，，，則四棱錐可分割為兩個(gè)小三棱錐，它們以為底，以，分別為頂點(diǎn)的兩個(gè)小棱錐，因?yàn)槿�角�?/span>的面積是個(gè)常數(shù)，，到平面的距離是個(gè)常數(shù)，所以四棱錐的體積為常函數(shù)，所以④正確，所以四個(gè)命題中③假命題，所以選C．